If point P is on line AB, which of the following always true ?

    
1. P বিন্দুটি A এবং B এর মাঝখানে অবস্থিত (A-P-B)। এই ক্ষেত্রে, রেখাংশের যোগফল হবে: \(AP + PB = AB\)
    
2. A বিন্দুটি P এবং B এর মাঝখানে অবস্থিত (P-A-B)। এই ক্ষেত্রে, রেখাংশের যোগফল হবে: \(PA + AB = PB\)
    
3. B বিন্দুটি A এবং P এর মাঝখানে অবস্থিত (A-B-P)। এই ক্ষেত্রে, রেখাংশের যোগফল হবে: \(AB + BP = AP\)

বিকল্প ১: \(AP = BP\)

    
• যদি P, A এবং B এর মধ্যবিন্দু হয়, তাহলে \(AP = BP\) হবে।
    
• কিন্তু যদি P, A এর কাছাকাছি হয় (যেমন A-P-B, P মধ্যবিন্দু নয়), তাহলে \(AP \ne BP\)।
    
• যদি P, B এর বাইরে হয় (যেমন A-B-P), তাহলে \(AP = AB + BP\), যা থেকে স্পষ্ট যে \(AP > BP\) (যেহেতু \(AB > 0\))।
    
• যদি P, A এর বাইরে হয় (যেমন P-A-B), তাহলে \(PB = PA + AB\), যা থেকে স্পষ্ট যে \(PB > AP\) (যেহেতু \(AB > 0\))।

সুতরাং, \(AP = BP\) সবসময় সত্য নয়।

বিকল্প ২: \(AP > BP\)

    
• যদি P, A এবং B এর মাঝখানে থাকে এবং P বিন্দুটি B এর কাছাকাছি হয়, তাহলে \(AP > BP\) হতে পারে।
    
• যদি P, B এর বাইরে হয় (যেমন A-B-P), তাহলে \(AP = AB + BP\)। এক্ষেত্রে \(AP > BP\) (যেহেতু \(AB > 0\))।
    
• কিন্তু যদি P, A এর কাছাকাছি হয় (যেমন A-P-B, P মধ্যবিন্দু নয়) অথবা যদি P, A এর বাইরে হয় (যেমন P-A-B), তাহলে \(BP > AP\) হতে পারে।
    
• যদি P = A হয়, তাহলে \(AP = 0\) এবং \(BP = AB\)। এক্ষেত্রে \(0 > AB\) যা মিথ্যা (কারণ \(AB > 0\))।

সুতরাং, \(AP > BP\) সবসময় সত্য নয়।

বিকল্প ৩: \(PB > AP\)

    
• যদি P, A এবং B এর মাঝখানে থাকে এবং P বিন্দুটি A এর কাছাকাছি হয়, তাহলে \(PB > AP\) হতে পারে।
    
• যদি P, A এর বাইরে হয় (যেমন P-A-B), তাহলে \(PB = PA + AB\)। এক্ষেত্রে \(PB > AP\) (যেহেতু \(AB > 0\))।
    
• কিন্তু যদি P, B এর কাছাকাছি হয় (যেমন A-P-B, P মধ্যবিন্দু নয়) অথবা যদি P, B এর বাইরে হয় (যেমন A-B-P), তাহলে \(AP > PB\) হতে পারে।
    
• যদি P = B হয়, তাহলে \(PB = 0\) এবং \(AP = AB\)। এক্ষেত্রে \(0 > AB\) যা মিথ্যা (কারণ \(AB > 0\))।

সুতরাং, \(PB > AP\) সবসময় সত্য নয়।

বিকল্প ৪: \(AB > AP\)

    
• যদি P, A এবং B এর মাঝখানে অবস্থিত হয় (A-P-B) এবং P বিন্দু A বা B এর সাথে মিলে না যায়, তাহলে \(AP + PB = AB\) এবং \(PB > 0\) হওয়ায় \(AB > AP\) হবে।
    
• যদি P = A হয়, তাহলে \(AP = 0\)। যেহেতু A এবং B দুটি ভিন্ন বিন্দু, তাই \(AB > 0\)। এক্ষেত্রে \(AB > AP\) সত্য (\(AB > 0\))।
    
• কিন্তু যদি P = B হয়, তাহলে \(AP = AB\)। এক্ষেত্রে \(AB > AP\) বলতে \(AB > AB\) বোঝায়, যা মিথ্যা।
    
• যদি P, B এর বাইরে থাকে (যেমন A-B-P), তাহলে \(AB + BP = AP\)। যেহেতু \(BP > 0\), সেহেতু \(AP > AB\)। এক্ষেত্রে \(AB > AP\) মিথ্যা।
    
• যদি P, A এর বাইরে থাকে (যেমন P-A-B), এবং PA এর দৈর্ঘ্য AB এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি বা সমান হয়, তাহলে \(AB > AP\) মিথ্যা হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি A হয় 0, B হয় 5, তাহলে AB = 5। যদি P হয় -6, তাহলে AP = 6। এক্ষেত্রে \(5 > 6\) মিথ্যা।

সুতরাং, \(AB > AP\) সবসময় সত্য নয়।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী P বিন্দুর সম্ভাব্য সকল অবস্থানের জন্য কোনো বিকল্পই সবসময় সত্য নয়। গণিত এবং জ্যামিতিতে "সবসময় সত্য" (always true) একটি কঠোর শর্ত। এই প্রশ্নটি সম্ভবত এই অর্থে ত্রুটিপূর্ণ, অথবা "line AB" দ্বারা "line segment AB" এবং P বিন্দুকে A ও B এর ভেতরের কোনো বিন্দু (endpoints included) বোঝানো হয়েছে যা প্রশ্নপত্রে উল্লেখ করা হয়নি। কিন্তু এমনকি P কে সেগমেন্ট AB এর উপর ধরলেও P=B হলে \(AB > AP\) মিথ্যা হয়।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয় যা সবসময় সত্য হবে।